パレート分布


ヴィルフレド・パレートが所得の分布をモデリングするために採用した、連続型の確率分布をパレート分布という。
パレート分布の離散型をジップ分布という。

α(α>0), xm(xm>0)をパラメータ、実数x(x≥xm)を確率変数とするときのパレート分布の確率密度関数は、次の数式で表現されている。

(α / xm) / (x / xm) ^ (α + 1)

期待値: αxm / (α – 1)
分散: αxmxm / (α – 1)(α – 1)(α – 2)

pareto_distribution

xm=1とし、xを水平軸とした時のαに関する確率密度関数のグラフ。
αが無限大に近づくにつれ、分布はδ(x − xm)に近づく。
(δはディラックのデルタ関数)


冪乗則(べきじょうそく)


冪乗則(べきじょうそく)は、統計モデルの一つで、次の数式で表現されている。
f(x)=ax^k+o(x^k)

long_tail_power_low
冪乗則のグラフ。黄色い部分をロングテールという。

様々な自然現象に冪乗則が見出され、パレート分布・ゼータ分布・ジップ分布などの確率分布は、冪乗則に近いテールを持っている。


3Dグラフィックスで使われている計算


[3Dコンピュータグラフィックスで使われている4つの座標系]

1.ローカル座標系:各物体が独自に持っている座標系。モデリングをする時にローカル座標の原点を物体の中心にする。

2.ワールド座標系:3D空間における絶対座標系。1つのワールド座標系の中に、全てのローカル座標系は位置付けられる。

3.視点座標系:視点の位置を原点とし、視点の方向にZ軸がある。

4.スクリーン座標系:画面の中心を原点とし、画面右方向にX軸、上方向にY軸、手前方向にZ軸がある。

coordinate

[3Dコンピュータグラフィックスで使われている3つの変換]

1.アフィン変換: 3次元モデルの線型変換(回転、拡大縮小、剪断)と平行移動の組み合わせ。

3d_coordinate_move
上図、点P(x、y、z)を点P’(x’、y’、z’)に移動させるアフィン変換は次のようになる。(tx:x軸方向に移動、ty:y軸方向に移動、tz:z軸方向に移動)
3d_formula_move

3d_coordinate_rotation
上図、X軸を中心にして角度θ回転させるアフィン変換は次のようになる。(回転の向きは原点から見て右回り。Xの座標値は変化しない)
3d_formula_rotation_x
同上(Y軸)
3d_formula_rotation_y
同上(Z軸)
3d_formula_rotation_z

拡大・縮小・反転のアフィン変換は次のようになる。(a:x軸方向にスケール変換、e:y軸方向にスケール変換、i:z軸方向にスケール変換)
3d_formula_scale

2.視野変換: 視点の位置を移動・回転させる。

3.投影変換: 3次元モデルをディスプレイなどの2次元に投影する。


高速で信頼性の高い最も普及している線形演算ライブラリ、LAPACK


LAPACK(レイパック)は、高速で信頼性の高い最も普及している線形演算ライブラリとして知られている。LAPACKは連立1次方程式、線形最小二乗問題、固有値問題、特異値分解を数値的に解くことができ、Fortran90で実装されている。LAPACK3.4.0からはCインターフェースが統合され、CやC++から容易に利用できる。

LAPACKは,内部でBLASライブラリを呼び出している。各CPUベンダーは最適化されたBLASを提供しており、ユーザーはCPUに最適化されたBLASを使うことで計算速度を飛躍的に向上させることが出来る。自分のシステムに適合したBLASがないときは、ATLASというツールでシステムに最適化されたBLASを生成することもできる。

lapack


回帰分析で広告効果を予測する方法


回帰分析は、独立変数x(例:広告費)と従属変数y(例:売上)の関係を表す式(例:y=ax+b)を統計的に推計する道具として知られている。

例えば、広告費と売上のデータが下図のように分布しているとき、回帰分析を使って漸近線(y=ax+b)を求めることにより、広告効果の予測に活用できる。

Normdist_regression

漸近線(y=ax+b)のパラメータaとbを求める式は最小二乗法から導出され次のようになる。

least_square_method


確率の問題


あるバラエティ番組の一場面、
3つの箱の中に1つの「アタリ」と2つの「ハズレ」がランダムに隠されている。
3つの箱のうち1つを選んでアタリとなる確率は1/3となる。

ここで、回答者が3つの箱のうち1つを選んだあとに、司会者が回答者の選択しなかった2つの箱のうちハズレが入っている1つの箱を開示する。
すると、回答者にとって、最初に選んだ1つの箱がアタリの確率は1/3、残りの1つの箱がアタリの確率は2/3となる 。

ここで、先ほど開示したハズレが入っている1つの箱を隠しておく。
すると、UFOが飛来してETが降りてきた。
ETが、2つの箱のうち1つを選ぶ。
ETが選んだ箱がアタリの確率は1/2となる。